【105指考數乙】非選滿分要訣 收藏

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每年指考成績單寄發後，有些考生認為自己的數學乙考科非選擇題，最後答案明明正確，為什麼無法得到該題的滿分，甚至1分未得？本文就此一疑問，說明105年指定科目考試數學乙考科（簡稱105年指考數學乙）非選擇題僅得到部分題分或是1分未得的可能情形，以及數學科非選擇題給分的大原則，希望能藉此釐清部分考生的疑惑。

以下各題會從兩方面進行分析，一是正確的解題步驟，二是考生解題的一些錯誤概念或解法，至於各題的參考解答可詳見7月15日中心網站公布的參考答案。（請參考105指考各科試題 解答（大考中心版））

【試題分析】：本題以一不公正骰子為情境以評量隨機變數概念與數學期望值。屬高三機率統計Ⅱ單元之試題，主要評量隨機的意義與期望值的概念，第(1)小題欲檢測機率總和、期望值的定義；第(2)小題欲檢測骰子和為3的分類情形及機率運算。


【第(1)小題=>正確解題步驟】
1.機率總和：x y y x y y=1（或2x 4y=1）
2.期望值：x 2y 3y 4x 5y 6y=3（或5x 16y=3)
3.解得x=1/3,y=1/12

【第(1)小題=>錯誤概念或解法】
此小題僅得部分分數的幾種情形如下：
(A1)僅列出一個方程式，如：2x 4y=1或5x 16y=3
(A2)能列出兩個方程式，如：2x 4y=1與5x 16y=3，但未解出正確的x,y之值。

　　在第(1)小題中，部分考生未考量機率和為1，但可依期望值為3，列出方程式5x 16y=3；亦或只考量機率和為1，僅列出方程式2x 4y=1。這兩種情形，因只列出一個方程式，故未能得出x,y之值。有些考生雖列出兩個方程式，但因計算錯誤，而無法得出x,y之值。


【第(2)小題=>正確解題步驟】
1.指出骰子點數和為3，有(1,2)(2,1)兩種狀況。
2.寫出2×1/3×1/12=1/18或1/3×1/12 1/12×1/3=1/18。

【第(2)小題=>錯誤概念或解法】
此小題僅得部分分數的幾種情形如下：
(B1)僅說明骰子點數和為3的分類情形，即(1,2)(2,1)兩種狀況。
(B2)直接寫出2×1/3×1/12=1/18或1/3×1/12 1/12×1/3=1/18，但未說明骰子和為3的分類情形。
(B3)寫出分類情形，亦寫出正確答案，但卻是以公正骰子之機率求解，如：2×1/6×1/6=1/18。

　　第(2)小題中，部分考生僅說明出骰子點和為3的分類情形，但機率算錯，如：將機率xy寫成x y，或將機率寫成1/3×2/12 2/12×1/3，亦或寫成1/3×1/12。此外，有些考生雖然寫出1/3×1/12 1/12×1/3，但未指出骰子點數和為3的分類情形。因x,y可代表其他骰子點數的機率，又有考生寫出點數和為3的可能情形為(1,3)與(3,1)，故若寫出1/3×1/12 1/12×1/3，但未明確指出點數和為3的分類情形，將無法在此小題得滿分。部分考生雖說明出骰子點數和為3的分類情形，也寫出正確答案1/18，但因計算過程中明顯看出xy是以公正骰子的機率來計算，如：2×1/6×1/6，雖答案正確，但因推論不正確，故僅能得部分分數。

　　數學科非選擇題主要評量用數學式清楚表達解題過程的能力，因此推理過程與說明是否正確、邏輯判斷是否合理，均為評定分數的重要依據。若考生只寫答案，而未有任何的理由、算式將無法得分。

【試題分析】：本題評量線性規劃概念，考生可利用頂點法或平行線法求解。

【正確解題步驟】
設租平地x單位、租山坡地y單位。
※方法一：頂點法

※方法二：平行線法

【錯誤概念或解法】

　　在寫出目標函數時，部分考生未寫出，因此無法說明為何最大利潤發生在(2,1)；部分考生將「作物A–>每單位面積的利潤是120萬元，作物B每單位面積的利潤是90萬元」中的利潤當成收入，因而將目標函數寫成P(x,y)=120x 90y−130。

　　在求最大利潤為何時，多數考生是利用頂點法求解，其中常見的錯誤類型為：使用頂點法求解時，直接將頂點(2,1)代入目標函數中，即認定此時可得最大利潤330萬元，並未將可行解區域上的其他頂點代入目標函數中比較，以致無法由答案卷上得知最大利潤所發生的點是如何求得，故無法得到滿分。另有少數考生在求可行解區域頂點時，因粗心算錯頂點坐標，而無法得到正確答案，或將正確頂點代入目標函數中作比較時，部分頂點計算錯誤而失去部分分數，實在可惜。

　　當考生能正確寫出不等式組、或將可行解區域正確標示出後，則可利用「平行線法」求解最大利潤發生在哪個頂點。利用目標函數120x 90y=k所定直線之斜率為−4/3，因直線之斜率m=−4/3介於−3/2與−4/5之間，故可知租平地2單位、租山坡地1單位時，可獲到最大的利潤P(2,1)=330(萬元)。

　　考生若利用平行線法求解，較常發生的錯誤為未標示出可行解區域、或直線120x 90y=k畫錯而得到錯誤的頂點、或未說明目標函數所定直線之斜率−4/3介於−3/2與−4/5之間，因而失去部分分數。

　　數學的題型有選擇、選填與非選擇題。選擇題與選填題，只要答案正確，即可得到全部分數。但非選擇題主要評量考生是否能夠清楚表達推理過程，答題時應將推理或解題過程說明清楚，且得到正確答案，方可得到滿分。如果計算錯誤，則酌給部分分數。如果只有答案對，但觀念錯誤，或過程不合理，則無法得到分數（註1）。本文說明正確的解題概念與步驟，以及得部分分數與無法得分的可能情形，主要用意在於提供老師教學或學生平常練習時的參考。

註1：吳家怡（民93），我的數學甲非選擇題得分了嗎。選才通訊，第120期。


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